超初心者向け

フィボナッチの兎

フィボナッチの兎
葉の付き方は「葉序(ようじょ)」と呼ばれており、どの程度の角度でずれるかは植物の種類によって決まっています。

フィボナッチの兎 偉大な発見でたどる数学の歴史 (創元ビジュアル科学シリーズ)

なぜ1分は60秒なのか? πとは何か? ウサギは何匹いるか? エネルギーは不変か? ピタゴラスの定理からフィボナッチ、ニュートンなど先駆者による偉大な「ひらめき」まで、5.

フィボナッチの兎 偉大な発見でたどる数学の歴史 (創元ビジュアル科学シリーズ)

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このセットに含まれる商品

なぜ1分は60秒なのか? πとは何か? ウサギは何匹いるか? エネルギーは不変か? ピタゴラスの定理からフィボナッチ、ニュートンなど先駆者による偉大な「ひらめき」まで、50の歴史的発見で壮大な数学史を概観する。【「TRC MARC」の商品解説】

  • 第1章 いにしえを訪ねて 紀元前2万年~紀元前400年
  • イシャンゴの骨に刻まれたのは?――数を数えた最初の証拠
  • なぜ10まで数えるのか?――数字のはじまり
  • なぜ1分は60秒なのか?――シュメールの60進法
  • 円を正方形にできるか?――無理数と格闘したギリシャ人
  • いかに分数はエジプトのものになったか?――リンドパピルスとエジプト数学
  • 証明とは何か?――ピタゴラスの定理
  • 無限の大きさとは?――「とても大きい」と「とても小さい」の数学
  • 第2章 問題と解法 紀元前399年~紀元628年

アダム・ハート=デイヴィス

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みんなのレビュー (5件)

創元ビジュアル科学シリーズ 3

投稿元:

シュメール人は60進法だった。指の関節をつかった。
超越数=代数方程式の解にならない数。円周率、eなど。数論によって証明される。
エジプトの分数は、常に分子は1、それの足し算で複雑な分数を現わす。
古代ギリシャ人は、月食が地球の影で起こることを知って、地球が丸いことを理解した。地球の大きさは、アレクサンドリアとアスワンの距離を測った。
フィボナッチ数列=1,1から始まって、数字を足していく。1,1,2,3,5,8、13・・・最終的には黄金比になる。
eは、成長を示す定数。eのべき乗は傾きもeのべき乗、面積もeのべき乗。オイラーの公式。eのiπ乗+1=0
宇宙の駐車場=太陽、地球、月の重力の作用が均衡して動かない点=ラグランジュ点。5つある。L1~L3は直線状にある。静止衛星に最適。L4とL5はギリシャ群やトロヤ群などの小惑星や宇宙塵が溜まっている。人口コロニーの候補になる。
素数の分布。ガウスが自然対数を使って計算できることを発見。数論。
フーリエ変換=熱伝導方程式を使って正弦波に変換できる。
クラドニの金属板の上の砂の実験。ジェルマンが弾性理論を使って説明した。
ガロア。対称性とパターン。群論の先駆け。
トポロジー。メビウスの輪をふたつに切ると繋がった一本の輪になる。

ハーブとフィボナッチ数列について解説しています。

ハーブのホームページ

ひまわりのらせん

「1、1、2、3、5,、8、 13、21、34、 55、89・・・」

植物の花びらを見ると、 ユリの花びらは3枚、桜や梅は5枚、コスモスは8枚、キク科植物は13枚、21枚、34枚、55枚 など、この 「フィボナッチ数列」 と呼ばれる数列に従って発生・成長しているものが多く見られます。

その他、 ひまわりの種の並びが螺旋状に21個、34個、55個、89個・・・となっていたり、葉の付き方や角度(葉序) フィボナッチの兎 、 松ぼっくりのかさの並びやパイナップルの模様 、身近なところでは ピアノの1オクターブが黒鍵5鍵、白鍵8鍵で合計13鍵になっていたり 、様々なところにフィボナッチ数列が登場しています。

フィボナッチ数列について

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列とは、1,300年ほど前にインドの数学者が書物に記したものを紹介した イタリアのレオナルド=フィボナッチ(Leonardo Fibonacci、Leonardo Pisano 1170年頃~1250年頃) にちなんで名づけられた数列で、彼は兎のつがいの問題を考案しました。

1か月目には1つがいの兎 が、 2か月目には2つがい になり、3か月目には最初のつがいが1つがいの兎を生むので、 3つがい になります。

これを繰り返していくと、 4か月目には5つがい 、 5か月目には8つがい になり、 増え方がフィボナッチ数列に従っている ことが分かります。

産まれたばかり 生後1か月 生後2か月以降 つがいの合計
0か月後 1 0 0 1
1か月後 0 1 0 1
2か月後 1 0 1 2
3か月後 1 1 1 3
4か月後 2 1 2 5
5か月後 3 2 3 8
6か月後 5 3 5 13
7か月後 8 5 8 21
8か月後 13 8 13 34
9か月後 21 13 21 55
10か月後 34 21 34 89
11か月後 55 34 55 144
12か月後 89 55 89 233

黄金比と植物

このようにして数字を追いかけていくと、やがて 黄金比である1.618に近づいていく ことが分かります。

黄金比とは、二次方程式 x 2 − x − 1 = 0(1:x-1=x:1 → x(x-1)=1)の正の解 で、 ギリシア文字の φ(ファイ)やτ(タウ) で表され、 優れた芸術作品や建築物にこの比率が見られるほか、名刺や用紙サイズに利用されるなどバランスのとれた比率 として知られています。

<二次方程式 x 2 フィボナッチの兎 − x − 1 = 0 の解>
x 2 -x-1=0 フィボナッチの兎
(x-1/2) 2 -1/4-1=0
(x-1/2) 2 -(5/4)=0(平方完成)
(x-1/2) 2 =(5/4)
x-(1/2)=±√(5/4)
x=(1/2)±√(5/4)
x=(1/2)±(√5)/2
x=(1±√5)/2
x=±1.618033988749895

そして、 この黄金比で円周360度を2分した際の狭い方の角度を「黄金角」 と言うのですが、 植物の葉は光がまんべんなく当たるよう黄金角分に位置をずらして付いている ものが多く見られます(2/5葉序や3/8葉序)。

バジル

葉の付き方は「葉序(ようじょ)」と呼ばれており、どの程度の角度でずれるかは植物の種類によって決まっています。

このように、葉っぱの開度に級数的関係があることを シンパー・ブラウンの法則(Schimper‐Braun's Law) と言い、 フィボナッチの兎 ドイツの植物学者K.F.シンパー(1803~1867)とA.ブラウン(1805~1877)が1850年代に提唱 しました。

これは、 葉序の開度と全周の比がいずれも、「1/n、1/(n+1)、2/(フィボナッチの兎 2n+1)、3/(3n+2)、5/(5n+3)、8/(8n+5)・・・ 」のような数列のうちのどれかに該当するという法則 で、「n =2」とした主列「1/2、1/3、2/5、3/8・・・」は最も普通に見られる葉序なのですが、 これがフィボナッチ数列 になっており、「n =2以外」の副列と区別されています。

1/2葉序・・・(360×1) ÷ 2=180度
1/3葉序・・・(360×1) ÷ 3=120度
2/5葉序・・・(360×2) ÷ 5=144度
3/8葉序・・・(360×3) ÷ 8=135度
5/13葉序・・・(360×5) ÷ 13=138.4615~度
8/21葉序・・・(360×8) ÷ 21=137.1428~度

フィボナッチ数列を神聖視することへの疑問

競馬

ここまで、 フィボナッチ数列や黄金比、黄金角と植物の深い関連性 について見てきました。

しかし、実際には アブラナの花びらは4枚、サフランは6枚 だったり、7枚や11枚、18枚の花などの例外も多くあるほか、 葉序に関しても厳密には黄金角ではなくその近似値 となっており、 自然界すべてがフィボナッチ数列や黄金比に従っているわけではない です。

つまり、自然界はある程度フィボナッチ数列に沿っているものの、 すべての事象に関して単純に数学的な数式をもって自然やその根本を説明できるものではない ので、 特にフィボナッチ数列を神聖視する必要はありません 。

自然界の作り出す規則性を発見して楽しむ分には問題ない のですが、フィボナッチ数列を株価や為替の分析に使ったり、 「フィボナッチ馬券学で一攫千金!」などと競馬にまでフィボナッチ数列を使うような極端な例 も出てきています。

しかし、投資においては上昇や下落分の半値戻しや3分の2、3分の1戻しがセオリーとなっており、 たまたま0.618や0.382が3分の2や3分の1に近いだけというトリック で、フィボナッチ数列の数字を都合のいいように取り出せばいくらでも応用が利く状態になっています。

実際に投資をしてみれば分かりますが、0.618や0.382のような数値でぴったり反転することはまず無く、 それで儲かるなら億万長者ばかりになっている わけで、都合の良い時だけ引き合いに出される印象を受けます。

馬券に関しては、 馬番やオッズをフィボナッチ数列に照らし合わせて分析するなどとさらに意味不明なもの になっており、 「何でもかんでもフィボナッチ数列頼み」というのはリスクが伴うことに注意を払うべき だと思われます。

※なお、4、7、11、18・・・という並び方はフィボナッチ数列と類似した 「リュカ数列」 と呼ばれるもので、2、5、8、11、14・・・のように はじめの数に同じ数を次々と加えてできる「等差数列」 や、2、4、8、16、32・・・のように はじめの数に同じ数を次々と掛けてできる「等比数列」 などもあり、植物の規則的に成長する部分にはフィボナッチ数列でなくとも何らかの規則性が見いだせる可能性 (何でもこじつけできる) があります。

エニグマアラン0001(FV1:フィボナッチの花)

今回はバイナリーオプションの波の捉え方を解説致しました。 フィボナッチを使用する時も一番重要になります。 是非参考にしていただければと思います。 今後もバイナリーの動画を挙げて参りますので、 良かったらチャンネル登録よろしくお願いいたし.

USD/JPY(ドル円) 来週から(5月24日~) #FX#テクニカル#トレード#為替#ドル円#USDJPY#エリオット#ダウ理論#フィボナッチ

【バイナリーオプション】エントリー解説!フィボナッチとキリバンの組み合わせを解説します。

今回はバイナリーオプションのエントリー解説をしました。 フィボナッチとキリバンの組み合わせになります。 フィボナッチの兎 他にもハイナリー関係の動画を挙げていますので、 良かったらご覧ください 【エントルのTwitter】 エントルの概要 普通のサ.

【東大2015】この数列は、フィボナッチ数列の…

【FX フィボナッチ活用 第2回】相場環境を認識してエントリーする方法

0 FX初心者向けのワンポイントアドバイス動画。 初心者・素人でもすぐ実践できて分かりやすいFX入門チャンネルです。 他の動画も是非ご覧ください。 フィボナッチの兎 サブチャンネル 「FXコミュニティ稼ぐ力」ではWANツールを使って誰でも簡単にトレー.

【経験談】ゴールドでフィボナッチ使って反発狙い続けた FX GOLD XAUUSD

0 今回の動画では、 「ゴールド(GOLD/XAUUSD)でのフィボナッチ反発狙い経験談」を フィボナッチの兎 解説しております。 フィボナッチリトレースメントは 使いやすいテクニカル指標ですが、 無差別に引いても 効果が実感しにくいことがあります。 .

Art of mathematics 23. Fibonacci sequence

<TradingView>フィボナッチが自動表示される インジケーターが登場!-229限目-

0 今回の動画では、TradingViewの新機能について わかりやすく解説してもらいました。 ■今回のギモン■ TradingViewにフィボナッチが自動表示されるインジケーターが登場しましたが その使い方を教えてください。 .

フィボナッチ

0 ・ForexTesterは、土日や空いた時間にいつでも、チャートを動作させて疑似トレードができる! ・ForexTesterの特徴の一つは、チャートの巻き戻しができること! ・動かすスピードを任意に変更可能なので時間短縮ができる! ・.

フィボナッチの兎

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「フィボナッチ数(ふぃぼなっちすう、Fibonacci number)とは、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチにちなんで名付けられた数である。n 番目のフィボナッチ数を Fn で表わすと
F_o=, F_1=1
F_(n+2)=F_n+F_(n+1) ( n >=1)
で定義される。
この数列はフィボナッチ数列と呼ばれ、最初の数項は
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …
である。定義より、どの項もその前の2つの項の和となっている。

兎の問題
フィボナッチは次の問題を考案した。
1つがいの兎は、産まれて2ヶ月後から毎月1つがいずつの兎を産む。
1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか?
この条件のもとで、つがいの数は次の表のようになる。どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ数が現れていることがわかる。
産まれたつがい1ヶ月目のつがい2ヶ月目以降のつがい つがいの数(合計)
0ヶ月目 1 0 フィボナッチの兎 0 1
1ヶ月目 0 1 0 1
2ヶ月目 1 0 1 2
3ヶ月目 1 1 1 3
4ヶ月目 2 1 2 5
5ヶ月目 3 2 3 8
6ヶ月目 5 3 5 13
7ヶ月目 8 5 8 21
8ヶ月目 13 8 13 34
9ヶ月目 21 13 21 55
10ヶ月目 34 21 34 89
11ヶ月目 55 34 55 144
12ヶ月目 89 55 89 233

一般項
フィボナッチ数列の一般項は次の式で表される:
F_n=(1/√5)*(((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n)=(φ^n-(フィボナッチの兎 -φ)^n)/√5
ただし、
φ=(1+√5)/2 ・・・1.618033988749895・・・
は黄金比。
・・・
性質
隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比 φ に収束する。
lim (n→∞) フィボナッチの兎 F_n/F_(n-1) →φ
導出:
x=lim (n→∞) F_n/F_(n-1) とおけば、
x=lim (n→∞) (F_(n-1)+F_(n-2))/F_(n-1)=lim (n→∞) (1+1/(F_(n-1)/F_(n-2))=1+1/x
x^2-x-1=0
p と q の最大公約数が r であるならば Fp と Fq の最大公約数は Fr である。
このことより以下を導くことができる。
m が n で割り切れるならば、Fm は Fn で割り切れる。
連続する2数は互いに素であることより、隣り合うフィボナッチ数も互いに素である。
Fm が偶数となるのは m が 3 の倍数となるときと一致する。
Fm が 5 の倍数となるのは m が 5 フィボナッチの兎 の倍数となるときと一致する。
p が 2 でも 5 でもない素数のとき、m = p - (5/p) とおくと p は Fm を割り切る。ここで (/) はルジャンドル記号である。
フィボナッチ数の累和や累積について以下の式が成り立つ:
F_1+F_2+F_3+・・・+F_n=F_(n+2)-1
F_1+F_3+F_5+・・・+F_(2n-1)=F_2n
F_2+F_4+F_6+・・・+F_2n=F_(2n+1)-1
F_1^2+F_2^2+F_3^2+・・・+F_n^2=F_n*F_(n+1)
F_(n-1)*F_(n+1)-F_n^2=(-1)^n

次の関係式が知られている。
1/89=Σ(1~n~∞) F_n X 10^-(n+1)
フィボナッチ数のうち平方数であるものは F1 = F2 = 1, F12 = 144 のみ (Cohn 1964)、立方数であるものは F1 = F2 = 1, F6 = 8 のみ (London and Finkelstein 1969) である。フィボナッチ数のうち累乗数であるものはこれしかない (Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006)。
・・・
最初の50項
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, フィボナッチの兎 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049(オンライン整数列大辞典の数列 A45)

類似の数列
トリボナッチ数
トリボナッチ数とは、次のように定義されるトリボナッチ数列に現れる数のことである。
T_0=T_1=0,T_2=1
T_(n+3)=T_n+T_(n+1)+T_(n+2)
フィボナッチ数列が「前の2項の和」なのに対し、トリボナッチ数列は「前の3項の和」である。
最初のいくつかの項は、次のようになる。
0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, フィボナッチの兎 10609, 19513, 35890, 66012, … (A73)
・・・
テトラナッチ数
テトラナッチ数は、トリボナッチ数列と同様に次のように定義される、テトラナッチ数列に現れる数のことである。
T_0=T_1=T_2=0, T_3=1
T_(n+4)=T_n+T_(n+1)+T_(n+2)+T_(n+3) (n >=1)

フィボナッチ数列が「前の2項の和」、トリボナッチ数列が「前の3項の和」なのに対し、テトラナッチ数列は「前の4項の和」である。
最初のいくつかの項は、次のようになる。
0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, …

リュカ数
フィボナッチ数列の最初の2項を 2, 1 に置き換えた数列の項をリュカ数という。この数列の一般項は
L_n =((1+√5)/2)^n + ((1-√5)/2)^n = φ^n + (-φ)^(-n)
と表される。
フィボナッチ数列やリュカ数の列を一般化したものがリュカ数列であり、1878年にエドゥアール・リュカが体系的な研究を行い、1913年にロバート・ダニエル・カーマイケル (en) がその結果を整理、拡張した。これらの研究が現代のフィボナッチ数の理論の基礎となった。」

ハーブとフィボナッチ数列について解説しています。

ハーブのホームページ

ひまわりのらせん

「1、1、2、3、5,、8、 13、21、34、 55、89・・・」

植物の花びらを見ると、 ユリの花びらは3枚、桜や梅は5枚、コスモスは8枚、キク科植物は13枚、21枚、34枚、55枚 など、この 「フィボナッチ数列」 と呼ばれる数列に従って発生・成長しているものが多く見られます。

その他、 フィボナッチの兎 ひまわりの種の並びが螺旋状に21個、34個、55個、89個・・・となっていたり、葉の付き方や角度(葉序) 、 松ぼっくりのかさの並びやパイナップルの模様 、身近なところでは ピアノの1オクターブが黒鍵5鍵、白鍵8鍵で合計13鍵になっていたり 、様々なところにフィボナッチ数列が登場しています。

フィボナッチ数列について

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列とは、1,300年ほど前にインドの数学者が書物に記したものを紹介した イタリアのレオナルド=フィボナッチ(Leonardo Fibonacci、Leonardo Pisano 1170年頃~1250年頃) フィボナッチの兎 にちなんで名づけられた数列で、彼は兎のつがいの問題を考案しました。

1か月目には1つがいの兎 が、 2か月目には2つがい になり、3か月目には最初のつがいが1つがいの兎を生むので、 3つがい になります。

これを繰り返していくと、 4か月目には5つがい 、 5か月目には8つがい になり、 増え方がフィボナッチ数列に従っている ことが分かります。

フィボナッチの兎 フィボナッチの兎 フィボナッチの兎
産まれたばかり 生後1か月 生後2か月以降 つがいの合計
0か月後 1 0 0 1
1か月後 0 1 0 1
2か月後 1 0 1 2
3か月後 1 1 1 3
4か月後 2 1 2 5
5か月後 32 3 8
6か月後 5 3 5 13
7か月後 8 5 8 21
8か月後 13 8 13 34
9か月後 21 13 21 55
10か月後 34 21 34 89
11か月後 55 34 55 144
12か月後 89 55 89 233

黄金比と植物

このようにして数字を追いかけていくと、やがて 黄金比である1.618に近づいていく フィボナッチの兎 ことが分かります。

黄金比とは、二次方程式 x 2 − x − 1 = 0(1:x-1=x:1 → x(x-1)=1)の正の解 で、 ギリシア文字の φ(ファイ)やτ(タウ) で表され、 優れた芸術作品や建築物にこの比率が見られるほか、名刺や用紙サイズに利用されるなどバランスのとれた比率 として知られています。

<二次方程式 x 2 − x − 1 = 0 の解>
x 2 -x-1=0
(x-1/2) 2 -1/4-1=0
(x-1/2) 2 -(5/4)=0(平方完成)
(x-1/2) 2 =(5/4)
x-(1/2)=±√(5/4)
x=(1/2)±√(5/4)
x=(1/2)±(√5)/2
x=(1±√5)/2
x=±1.618033988749895

そして、 この黄金比で円周360度を2分した際の狭い方の角度を「黄金角」 と言うのですが、 植物の葉は光がまんべんなく当たるよう黄金角分に位置をずらして付いている ものが多く見られます(2/5葉序や3/8葉序)。

バジル

葉の付き方は「葉序(ようじょ)」と呼ばれており、どの程度の角度でずれるかは植物の種類によって決まっています。

このように、葉っぱの開度に級数的関係があることを シンパー・ブラウンの法則(Schimper‐Braun's Law) と言い、 ドイツの植物学者K.F.シンパー(1803~1867)とA.ブラウン(1805~1877)が1850年代に提唱 しました。

これは、 葉序の開度と全周の比がいずれも、「1/n、1/(n+1)、2/(2n+1)、3/(3n+2)、5/(5n+3)、8/(8n+5)・・・ 」のような数列のうちのどれかに該当するという法則 で、「n =2」とした主列「1/2、1/3、2/5、3/8・・・」は最も普通に見られる葉序なのですが、 これがフィボナッチ数列 になっており、「n =2以外」の副列と区別されています。

1/2葉序・・・(360×1) ÷ 2=180度
1/3葉序・・・(360×1) ÷ 3=120度
2/5葉序・・・(360×2) ÷ 5=144度
3/8葉序・・・(360×3) ÷ 8=135度
5/13葉序・・・(360×5) ÷ 13=138.4615~度
8/21葉序・・・(360×8) ÷ 21=137.1428~度

フィボナッチ数列を神聖視することへの疑問

競馬

ここまで、 フィボナッチ数列や黄金比、黄金角と植物の深い関連性 について見てきました。

しかし、実際には アブラナの花びらは4枚、サフランは6枚 だったり、7枚や11枚、18枚の花などの例外も多くあるほか、 葉序に関しても厳密には黄金角ではなくその近似値 となっており、 自然界すべてがフィボナッチ数列や黄金比に従っているわけではない です。

つまり、自然界はある程度フィボナッチ数列に沿っているものの、 すべての事象に関して単純に数学的な数式をもって自然やその根本を説明できるものではない ので、 特にフィボナッチ数列を神聖視する必要はありません 。

自然界の作り出す規則性を発見して楽しむ分には問題ない のですが、フィボナッチ数列を株価や為替の分析に使ったり、 「フィボナッチ馬券学で一攫千金!」などと競馬にまでフィボナッチ数列を使うような極端な例 も出てきています。

しかし、投資においては上昇や下落分の半値戻しや3分の2、3分の1戻しがセオリーとなっており、 たまたま0.618や0.382が3分の2や3分の1に近いだけというトリック で、フィボナッチ数列の数字を都合のいいように取り出せばいくらでも応用が利く状態になっています。

実際に投資をしてみれば分かりますが、0.618や0.382のような数値でぴったり反転することはまず無く、 それで儲かるなら億万長者ばかりになっている わけで、都合の良い時だけ引き合いに出される印象を受けます。

馬券に関しては、 馬番やオッズをフィボナッチ数列に照らし合わせて分析するなどとさらに意味不明なもの になっており、 「何でもかんでもフィボナッチ数列頼み」というのはリスクが伴うことに注意を払うべき だと思われます。

※なお、4、7、11、18・・・という並び方はフィボナッチ数列と類似した 「リュカ数列」 と呼ばれるもので、2、5、8、11、14・・・のように はじめの数に同じ数を次々と加えてできる「等差数列」 や、2、4、8、16、32・・・のように はじめの数に同じ数を次々と掛けてできる「等比数列」 などもあり、植物の規則的に成長する部分にはフィボナッチ数列でなくとも何らかの規則性が見いだせる可能性 (何でもこじつけできる) があります。

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