概要

デルタ関数とその性質

デルタ関数とその性質
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  • Kartu Debit/Kredit
  • Cryptocurrency
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デルタ関数

前回はフーリエ級数展開を見ていきましたが、これは周期関数しか扱えないという重大な欠点がありました。普通、関数といえば非周期的ですから、似たような仕組みでもって非周期関数も扱える方法がないか気になるところです。実はそのような仕組みが存在することはとっくの昔に知られていて、フーリエ変換と名付けられているわけです。この回ではフーリエ変換というものを2通りの方法で導出していこうと思います。 【目次】 フーリエ変換の導出①(フーリエ級数展開からの拡張) フーリエ変換の例(デルタ関数のフーリエ変換) フーリエ変換の導出(デルタ関数の性質から求める方法) フーリエ変換の導出①(フーリエ級数展開からの拡張) …

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デルタ関数のフーリエ変換は「1」←ほんとかよ?

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Fri 13 May 22 18:00:00 GMT -- Mon 16 May 22 18:00:00 GMT

MICE-GCで特定されたダークマターハロー特性の新しいカタログ-I.密度プロファイル分布の分析 宇宙は私たちの動きの方向に明るくなっています:銀河の数とフラックスはCMB双極子と一致しています デシヘルツ重力波検出器によるダークサイレン宇宙論 SNe Ia Pantheonサンプルからハッブル定数を実行していますか? Parkesパルサータイミングアレイの2番目のデータリリースで宇宙ひもから重力波の背景を検索 ディープラーニングによる高解像度CMBレンズ再構成 湾曲した空間での有限のインフレーション R500を超える激しい生活:SRG/eROSITAを使用したかみのけ座銀河団のX線写真。 I…

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長岡洋介「電磁気学Ⅰ」の個人的まとめ

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砂川電磁気の個人的まとめ

(整備中) 論理展開 具体例や式計算などを省いて論理の流れだけを追っていきます。 1章 実験事実として点電荷のクーロンの法則を認める。 電荷密度やデルタ関数を考えることでこれを拡張。 1点の電場はその近傍にある電場の影響を受け連続的に決まることを表すためにガウスの法則を導く。 ストークスの定理を求めて、線積分が経路によらない条件を導出し、静電場がその条件を満たしていることを確認する。 数学的な変形により電場を静電ポテンシャルで表記する。 上の2つの静電場を規定する式からポアッソンの方程式が得られる。これを解くことで静電ポテンシャルを求め、電場が得られる。(このとき、導体表面の電位が与えられて、…

29本目の日記 〜図書館ずっとおる〜

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京都大学理学部数理科学系における専門科目

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トランスフォーマーと素敵なカーネル法【第1話】

お気付きの点がありましたらご指摘いただけますと幸いです。 Yifan Chen, Qi Zeng, Heng Ji, Yun Yang. Skyformer: Remodel Self-Attention with Gaussian Kernel and Nyström Method. In NeurIPS 2021. [Proceedings] カーネル法の計算量削減手法(Nyström 近似)をセルフアテンションに応用した研究であり、正定値カーネルでもなければ対称でもないソフトマックスによるセルフアテンションを、ガウシアンカーネルに置き換えて対称行列に拡張してカーネル法の土俵に持ち込んだう…

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Mon 27 Dec 21 19:00:00 GMT -- Wed 29 Dec 21 19:00:00 GMT

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よくわかる集合と位相。

数学における位相空間論(いそうくうかんろん、英: general topology; 一般位相幾何学)または点集合トポロジー(てんしゅうごうトポロジー、point-set topology; 点集合論的位相幾何)は、位相空間の性質やその上に定義される構造を研究対象とする位相幾何学の一分野である。位相幾何学のほかの分野が多様体などの特定の構造や具体的な構造を前提とすることと異なり、現れる位相空間としては病的なものも含めた極めて広範かつ一般のものを扱い、その一般論を形成するのが位相空間論の主目的である。

集合論その1:写像

, を二つの集合とし, の部分集合 のそれぞれの元 に の元 が一意に対応しているとき, を から への写像といい, を の定義域, を の値域(または像)という.

ちなみに, は Domain(定義域), は Range (値域)の頭文字である.英語の頭文字を記号にすることが多いのは,英語の専門書との整合性を保つため(だと思う).また,「 の」定義域,値域であるということを強調するために,それぞれ , と書くことが多い.

さて,写像のイメージを考えてみよう.例えば,100円円玉を自販機に突っ込んだらジュースが出てくるとき,自販機は「写像」になっているわけである.ここで,重要なのは,ジュースは1つしか出てこないということである.

もう一度数式で考えてみよう,, をそれぞれある集合とするとき, デルタ関数とその性質 が写像であるとは, のある元(ここでは のいずれか)が の元に飛ばされるという「対応」のことをいう.重要な点は,

1. 必ず の元はどれも に飛ばされる(すなわち,飛ばされない の元はない).

3. の元は必ずしも の元から「飛んできた」ものとは限らない(すなわち, の元の「飛ばされ先」になっていない の元があるかもしれない).

ちょっと正確に言うならば, のとき は全射といい,「, ならば 」であるとき は単射という.さらに,全射かつ単射である場合, は全単射といい,このとき の逆写像 が定義される.

集合論その2:濃度

というものであった( を自然数と考える流派もあるみたいだけど,初学者には関係ない).一方で「数えられない」無限は,例えば無理数である.このような「数え方」は濃度によって定式化される.

を定義域とする全単射な写像 が存在するとき, と の濃度は等しいという.濃度を表す記号として,なぜか (アレフ)が用いられることが多い.理由は何かあった気がするけど忘れてしまった.

自然数全体 と等しい濃度をもつ集合を可算集合といい, と書く.要は「数えられる無限である」を可算集合というわけである.信じられないかもしれないが,有理数全体の集合 は可算集合である.つまり, が全単射となるような写像を構成できるということである.詳しくは教科書を参照しよう.

集合論その3:選択公理

という主張を(ツェルメロの)選択公理という.これは現代数学において非常にシビアである.これが「正しい」と認める派閥と,認めない派閥が数学界にあるとされる.認める派閥が99.99%くらいだと思う.

位相空間論その1:位相空間

位相とは集合の中における「構造・判断」である.わかりやすい構造として,例えば距離がある.そして,集合 の二つの元 の関係が「近いのか遠いのか」という「判断」を与えるのが位相である.

を集合とし, を のべき集合とする.三つの主張:

が成り立つとき, を位相空間という.特に, を開集合系, に属する集合を開集合という.

中学校の教室で例えるならば,生徒が集合で,そこに「成績」といった「ものさし」を入れたものが位相空間である.このような「位相空間」を考えることによって,A君とB君の成績が近いとか,CさんはDさんよりも成績がいいといった,生徒同士の「比較」が可能になる.このような「ものさし」としては,距離を用いる場合が多い.

ところで,位相空間 の定義は次と同値である: のそれぞれの元 デルタ関数とその性質 に の部分集合の族(集合の集合) が対応して

IV. ならば が存在して,すべての に対して である

の4つが成り立つ.ここで, であることと, を満たす が存在することは同値である.

このとき, を の近傍系, に属する集合を の近傍という.個人的には,こっちの定義の方がフィーリングにマッチしてわかりやすいかと思う.

位相空間論その2:距離空間

集合 の任意の二つの元 に実数 が定義されて,

が成り立つとき, を距離空間, を2点 デルタ関数とその性質 と の間の距離という.

距離を導入する重要な動機の一つとしてコーシー列の定義が挙げられる.距離空間 の元の列 (すなわち からなる列)が を満たすとき, をコーシー列という.さらに, の元のすべてのコーシー列が のある元 に収束するとき,つまり, に対して となるとき, は完備であるという.この完備性は非線型偏微分方程式の解の一意性を保証する点などから重要であるとされる.

位相空間論その3:連続

「連続」は次のようにして定義される: を位相空間, を写像とする. の定義域を とし, とする. の任意の近傍 に対して, の近傍 が存在して, による の像が に含まれるとき, は 連続という.さらに, が の各点で連続のとき, は連続であるという.

デルタ関数とその性質

素数(そすう)は、2以上の自然数のうち正の約数が1と自分自身でしか割り切ることのできない正の整数のことである。2以上の素数ではない自然数は合成数と呼ばれる。1は素数ではない。

ウィキペディアの生真面目ユーザーたちが素数の項目をおカタく解説しています。

1000未満の素数 [ 編集 ]

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 デルタ関数とその性質 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 デルタ関数とその性質 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 デルタ関数とその性質 953 967 971 977 983 991 997

数学的な性質 [ 編集 ]

一般にn番目の素数を簡単な式で表すことは不可能であると考えられている。そのため、素数に関する多くの未解決問題(双子素数問題、ゴールドバッハの予想、リーマン予想など)があると共に、神秘的な数とも言われたりする。また、大きな数の素因数分解は困難であるため、暗号理論に応用されている。素数の概念は環論における既約元または素元にあたる。

素数の発見 [ 編集 ]

新しい素数の発見は暗号理論の発展にもつながるため、市民参加型の素数発見プロジェクト「メルセンヌ巨大素数検索プロジェクト(GIMPS :Great Internet Mersenne Prime Search)が存在し、新しい素数の発見者にはGIMPSから賞金3000ドルが授与される。インターネットにつながっているコンピュータさえあれば、ソフトをインストールするだけであなたも今すぐにGIMPSの素数発見作業に参加することができる。

素数判定関数 [ 編集 ]

nが素数なら1、合成数なら0を返す関数 P(n) を作ること自体は可能であり、いくつかの数式が考案されている。これは全ての数で割り切れるか否かを調べる操作を数式化しているだけであり、実用性は全くない

<\displaystyle \delta _<j></p>
<p>一例。ここで ^> はクロネッカーのデルタ(i = j のとき 1 、 i ≠ j のとき 0)

<\displaystyle \mathrm <P></p>
<p> (デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 n)=\prod _=2>^\left(1-\sum _=1>^\delta _k_>^\right)>

素数生成式 [ 編集 ]

この関数を用いることで、n番目の素数を数式で表すことも可能である。しかし、ただでさえ計算量が多すぎる素数判定関数を繰り返し用いて、範囲内の全ての素数を書き出したものに、「n番目であるかどうか」の判定を嚙ませているだけなので、実用性は全くない。この式を用いてスーパーコンピューターで計算するよりも、手計算でエラトステネスの篩にかけたほうが速いほどである。

<\displaystyle <\begin</p>
<p>p_&=\sum _^<2^>i\mathrm (i)\delta _^<\left(\displaystyle \sum _<j=2>^\mathrm (j)\right)>\\&=\sum デルタ関数とその性質 _^<2^>i\prod _=2>^\left(1-\sum _=1>^\delta _k_>^\right)\delta _^<\left\<\displaystyle \sum _<j=2>^\prod _=2>^\left(1-\sum _=1>^\delta _k_>^\right)\right\>>\end>>

なお、「素数生成多項式」は存在しないことが証明されている。

素数表現多項式 [ 編集 ]

各変数に0以上の整数を代入すると、必ず素数が得られる数式も存在する。n番目の素数を表せるわけではなく、計算量も多いため、実用性は全くない。ロシアの数学者、ユーリ・マチャセビッチによる「マチャセビッチの多項式」が主に知られている。以下はAからZまでの26変数を用いるものであるが、マチャセビッチは19変数のものも考案している。

<\displaystyle <\begin</p>
<p>(K+2)(デルタ関数とその性質 1&-[WZ+H+J-Q]^\\&-[(GK+2G+K+1)(H+J)+H-Z]^\\&-[16(K+1)^(K+2)(N+1)^+1-F^]^\\&-[2N+P+Q+Z-E]^\\&-[E^(E+2)(A+1)^+1-O^]^\\&-[(A^-1)Y^+1-X^]^\\&-[16R^Y^(A^-1)+1-U^]^\\&-[N+L+V-Y]^\\&-[(A^-1)L^+1-M^]^\\&-[AI+K+1-L-I]^\\&-[((A+U^(U^-A))^-1)(N+4DY)^+1-(X+CU)^]^\\&-[P+L(A-N-1)+B(2AN+2A-N^-2N-2)-M]^\\&-[Q+Y(A-P-1)+S(2AP+2A-P^-2P-2)-X]^\\&-[Z+PL(A-P)+T(2AP-P^-1)-PM]^)\end>>

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